- Ответов 68
- Просмотры 18,8 тыс
- Создана
- Последний ответ
Топ авторов темы
-
::: 23 постов
-
Николай Чичигин 16 постов
-
alex2000 15 постов
-
loou 10 постов
A better way to browse. Learn more.
A full-screen app on your home screen with push notifications, badges and more.
//С этим сразу в Наука-lite.
К сожалению тексты не открываются по ссылкам, поэтому выкладываю тексты полностью.
Уточнения к мат. Анализу.
Уточнение правил дифференцирования.
А. Дано:
(U+V)! =U!+V!; U=a*Xn; V=d*Xn; X=c*Y; Y=X/c; c > 1
Доказательство:
1) (a*Xn + d*Xn)! = n*a*xn-1 + n*d*Xn-1 = n(a + d)*Xn-1
2) (a*cn*Yn + d*cn*Yn)! = n*a*cn*Yn + n*d*cn*Yn-1 = n*cn*(a+d)*Yn-1 = n*cn*(a+d)*(X/c)n-1 =n*(a+d)*Xn-1*c
Сравнивая результаты уравнений «1» и «2», видно, что если функции
(a + d)Xn = (a+d)*cn*Yn, то производные этих функций не равны друг другу, т.к.
n*(a +d)*Xn-1 < n*(a+d)*Xn-1*c
------------------------------------------- ------------------------------------------------
В. Дано:
(U*V)! = U!*V + U*V! ; U = a*Xn; V = b*Xn; X = c*Y; Y = X/c; c >1
Доказательство:
1) (a*Xn*b*Xn)! = n*a*Xn-1*b*Xn + a*Xn*n*b*Xn-1 = 2*n*a*b*X2n-1
2) (a*cn*Yn*b*cn*Yn)! = n*a*cn*Yn-1*b*cn*Yn + a*cn*Yn*n*b*cn*Yn-1 = 2*a*b*c2n*Y2n-1 = 2*n*a*b*c2n*(X/c)2n-1 = 2*n*a*b*X2n-1*c Сравнивая результаты уравнений «1» и «2», видно, что если функции a*Xn*b*Xn = a*cn*Yn*b*cn*Yn то производные этих функций не равны т.к.
2*n*a*b*X2n-1 < 2*n*a*b*X2n-1*c
При равенстве функций величина производной функции с меньшим аргументом будет больше величины производной функции с большим аргументом.
Правило дифференцирования суммы функций гласит: - если функция равна сумме функций, то производная этой функции равна сумме производных функций.
На самом деле - если функция равна сумме функций, то производная этой функции всегда будет меньше суммы производных слагаемых функций.
Примеры из геометрии.
Если функция выражает площадь круга, то производная этой функции выражает длину окружности.
Но если функция, выражающая площадь большего круга, равна сумме функций, выражающих площади меньших кругов, то производная функции суммы ( функция, выражающая длину окружности большего круга) всегда будет меньше суммы производных слагаемых функций ( слагаемых функций, выражающих длины окружностей).
Примеров из геометрии о несоответствии правил дифференцирования суммы функций более чем достаточно.
Функция объема шара, выраженная через радиус шара - ее производная, функция площади шаровой поверхности, выраженная через радиус шара.
Функция объема правильного многогранника, выраженная через радиус вписанного шара, - производная, функция площади боковой поверхности многогранника, выраженная через радиус вписанного шара .
Функция площади правильного многоугольника, выраженная через радиус вписанной окружности. - производная. функция периметра правильного многоугольника, выраженная через радиус вписанной окружности.
Рассмотрим правило дифференцирования суммы функций на конкретных примерах.
S - площадь квадрата
C – периметр квадрата
a – сторона квадрата
R – радиус окружности, вписанной в квадрат
x – аргумент функции
Площадь квадрата S=a2 =4R2 =4x2
Периметр квадрата C=4a=8R=8x
Функция площади квадрата y=4x2
Производная функции площади квадрата y!=8x
Разделим квадрат на четыре равных квадрата.
Радиус внутренней окружности меньших квадратов r = 1/2R = 1/2x
Выразим функцию площади большего квадрата через r = 1/2x
y = (4x)2=16x2
Производная этой функции y!=32x
Видно, что если функцию площади большего квадрата выразить через радиус вписанной окружности меньших квадратов, то в данном случае производная функции площади большего квадрата выражает функцию суммы периметров меньших квадратов.
Если функцию площади меньшего квадрата выразить через радиус вписанной окружности большего квадрата, то в данном случае производная этой функции выражает функцию части периметра меньшего квадрата, которая одновременно является и частью периметра большего квадрата.
y = x2 x=R
y! = 2x
Правила дифференцирования суммы функций соответствуют действительности только в том случае, когда функция искусственно разделена на составляющие.
Т.е. функция приравнивается к сумме ее составляющих ( не являющимися самостоятельными функциями) и в данном случае производные составляющих являются составляющими производной основной функции.
Пример:
S=nR2; X=R; Y=nX2=nX2/2+ nX2/2; Y!=2nX= nX+nX;
В данном случае функция выражает зависимость площади круга от радиуса, а каждая из составляющих выражает зависимость ½ площади круга от радиуса.
Производная функции выражает зависимость длины окружности от радиуса, а каждая из производных составляющих выражают зависимость длины полуокружности от радиуса.
Если функцию площади круга выразить через диаметр «D» круга
S=nD2/4; X=D, то функция, выражающая зависимость площади круга от диаметра, выглядит так Y=nX2/4 и она соответствует действительности.
Но производная данной функции Y!=nX/2
выражает не периметр круга, в который заключена задаваемая площадь, а всего лишь половину периметра.
Ведь производная в данном случае выражает длину дуги сектора круга, у которого радиус R=D , а площадь равна S=nD<sup>2</sup>/4
Если функцию зависимости площади круга от радиуса выразить через X>R, то производная функции будет выражать лишь часть периметра, в которую заключена задаваемая площадь круга.
Если функцию зависимости площади круга от радиуса выразить через X<R, то производная функции будет выражать величину большую чем периметр, в который заключена задаваемая площадь круга
В заключение, для опровержения правил дифференцирования, можно рассмотреть уравнение Пифагора для целых чисел, составленное через одну переменную:
[2X(X+1)+1]2 = [2X(X+1)]2 + (2X+1)2
Функция Y1=[2X(X+1)+1]2 =4X4 +8X3 +8X2 +4X +1 показывает зависимость площади квадрата гипотенузы от величины переменной «X».
Функция Y2=[2X(X+1)]2 = 4X4 +8X3 +4X2 показывает зависимость площади квадрата большего катета от величины переменной «X».
Функция Y3 =(2X+1)2 =4X2+4X+1 показывает зависимость площади квадрата меньшего катета от величины переменной «X».
Производные этих функций:
Y1! =16X3+24X2+16X+4
Y2! =16X3+24X2+8X
Y3!=8X+4
В данном случае:
Функция равна сумме функций, и производная функции равна сумме производных функций .
Но, если производная Y3!=8X+4 несет смысловое содержание, как величина периметра, в который заключена величина площади S=(2X+1)2, то производные Y1! =16X3+24X2+16X+4 и Y2! =16X3+24X2+8X не несут никакого смыслового содержания и выражают полнейшую бессмыслицу (абсурд).
Отсюда можно сделать вывод, что слепое (механическое) применение дифференцирования приводит к абсурдным результатам.
Несуразиц, к которым приучают молодое поколение со школьной скамьи, в современных учебниках предостаточно, но никто не желает наводить порядок, а наоборот всячески противятся наведению порядка.
Изменено пользователем Николай Чичигин