Misha

А как выбираете ветку логарифма?

Рассмотрим хорошую ситуацию (когда одно собственное значение λ больше остальных по модулю). Выберем абы как (например, случайно) начальный вектор. Разложим его по собственным векторам (в уме, поскольку векторов этих мы не знаем) и посмотрим на коэффициент c в разложении при собственном векторе v, соответствующем максимальному по модулю собственному значению. Если этот коэффициент не равен нулю (а он вряд ли будет равен нулю), то, в конце концов, начальный вектор помноженный много (n) раз на матрицу будет равен λ^n c v плюс разный мусор, который на фоне главного слагаемого экспоненциально убывает со степенью n. Скорость убывания равна модулю отношения следующего за максимальным и максимального собственных чисел. Когда в итерациях вектор близок к собственному по направлению, то при домножении на матрицу мы получаем почти то же направление — вектор почти домножается на число (которое и есть собственное). Т.е. каждая компонента отдельно приближённо умножается на собственное число (которое максимальное по модулю, всё остальное постепенно исчезло), поэтому неважно какую компоненту брать в степенном методе (мне легче брать максимальную по модулю, я ожидаю при этом меньших ошибок, но это непринципиально).

До деления вектора на его модуль, модуль вектора будет приближённо равен не собственному значению, а его модулю. Как я понял из прочитанного, в изложенном варианте степенного метода собственное значение вычисляется из отношения какой-либо одной компоненты векторов на двух последующих итерациях, когда как в методе скалярных произведений оно вычисляется как отношение скалярных произведений, т.е. задействованы все компоненты векторов. В обоих случаях Вы получите результат численно близкий к собственному значению максимальному по модулю.

а) верно, б) почти верно. Чтобы доказать, что базис Гамеля существует, нужно принять аксиому выбора. (Если взять отрицание аксиомы выбора в качестве аксиомы, то я не знаю, можно ли доказать, что все решения интересующего нас уравнения линейны.) Пусть у нас есть набор из k вещественных чисел a1, a2, ..., ak, причём эти числа линейно независимы над Q, т.е. не существует таких рациональных чисел b1, b2, ..., bk, что хотя бы одно из bi не равно нулю, при этом b1*a1+b2*a2+...+bk*ak=0. Тогда мы можем выбрать какие хотим значения f(a1), f(a2), ..., f(ak). Определившись с выбором, мы задали одновременно значения функции f на всех числах b1*a1+b2*a2+...+bk*ak, где числа b1, b2, ..., bk рациональны, а именно, f(b1*a1+b2*a2+...+bk*ak) = b1*f(a1) + b2*f(a2) + ... + bk*f(ak). На других значениях аргумента мы значение функции f не знаем. Причём мы не можем завершить построение функции просто сказав, что какие бы ни были оставшиеся числа a..., которые дополняют a1, a2, ..., ak до базиса Гамеля, пусть, например, f(a...) = a... Связано это с тем, что коэффициенты b1, b2, ..., bk разложения числа x = b1*a1 +b2*a2 + ... + bk*ak + b...*a... по базису Гамеля зависят от значений a..., которых мы не знаем (и не в состоянии указать явно).

Очевидно, что если f удовлетворяет уравнению, то уравнению удовлетворяет и af+b для любых a и b. Положим f(0) = 0, f(1) = 1. Имеем (f(2x) + f(0)) / 2 = f(x), откуда f(2x) = 2f(x). Также f(x) + 1 = (f(2x) + f(2)) / 2 = f(x + 1), т.е. достаточно рассмотреть функцию на отрезке от 0 до 1. Любое целое число легко записать в двоичной системе, откуда легко показать, что для целого n имеем f(n x) = n f(x). Например, f(3x) = f((4x + 2x) / 2) = (f(4x) + f(2x)) / 2 = (4f(x) + 2f(x)) / 2 = 3f(x). Отсюда тут же следует, что для любого рационалького числа q имеем f(q x) = q f(x) (в частности, f(q) = q). Имеем также f(x + q) = f(x) + q. Если f непрерывна, то она линейна. Как уже писала (svetlana), разрывные решения этого уравнения были построены в 1905 году Гамелем: G. Hamel, Eine Basis aller Zahlen und die ustetigen Losungen Funktionalgleichung: f(x + y) = f(x) + f(y), Mathematische Annalen 60, 469-462 (1905). (Математически задача сводится к рассмотрению базиса Гамеля векторного пространства (множество вещественных чисел) над полем рациональных чисел.)

f(1) = 1, f(1/3) = f(2/3) = 0, f(1/2) = 1/2. (f(1) + f(1/3)) / 2 = 1/2 != f((1 + 1/3) / 2) = f(2/3) = 0. (f(1/3) + f(2/3)) / 2 = 0 != f((1/3 + 2/3) / 2) = f(1/2) = 1/2.

Рассеките рисунок вертикально пополам, посмотрите на правую половину. Будут цифры 1, 2, 3, 4. Update (2008-08-03, 13:06): Задача старая, ответ знал давно.

x^3 + 8 = (x + 2) (x^2 - 2x + 4) 1 1/12 -x/12 + 1/3 ------- = ----- + ------------ x^3 + 8 x + 2 x^2 - 2x + 4

http://kvant.mccme.ru/1988/02/p42.htm

http://forum.academ.org/html/emoticons/smile.gif Спасибо! http://forum.academ.org/html/emoticons/smile.gif

В правилах форума Академгородка написано: QUOTE 3. Не допускаются пропаганда и агитация, провоцирующие социальную, расовую, национальную, половую, религиозную и др. ненависть и вражду. Запрещается пропаганда социального, расового, национального, полового, религиозного, языкового превосходства.Я не считаю, что научное обсуждение каких-либо фактов или научной теории может спровоцировать ненависть или является демонстрацией какого-либо превосходства. Если кто-то решил, что подобное обсуждение как-либо оскорбляет его(её) религиозные чувства, то меня это почти не интересует. (Обсуждение в стиле "и как же это религиозные могут верить в такую..." не является таковым обсуждением. В наука обсуждаются результаты наблюдений (экспериментов), теории, которые их могут объяснить, предсказания этих теорий, согласуются ли предсказания с наблюдениями, что интересного из этого можно получить, ..., а не то, во что нужно верить, кто плохие, а кто хорошие, ...) IMHO, жалобы верующих, что что-то оскорбляет их религиозные чувства, "так писать нельзя", ... часто необоснованны. Наука обычно имеет на что-то точку зрения не затем, чтобы кого-то задеть, а потому что на это есть реальные основания. Со своей стороны скажу, что мне не нравится, что иногда представители церкви пытаются влиять на составление школьной программы (не являясь специалистами). Ветку про благодатный огонь я воспринимаю как "А как можно сделать, чтобы огонь не обжигал?" То, что при этом упоминается благодатный огонь в Иерусалиме, из-за того, что некоторые утверждают, что он не обжигает, и это есть (со своей долей достоверности) свидетельство, что такой огонь можно сделать. Что же касается лженауки --- удивительно немалое количество людей пытается создать (с моей точки зрения) странный бред, основываясь почти ни на чём, но с далеко идущими выводами. Люди эти (с моей точки зрения) часто неадекватны, и вести с ними разумный разговор невозможно. Распространённые пожелания: (а) "Вы найдите ошибку, а если не можете, то значит всё правильно"; (б) "Нельзя так вот говорить, что всё это бред, мы ещё многого не знаем, и истина может оказаться очень тонкой и непостижимой" (с моей точки зрения) несостоятельны. (а) Искать в этом потоке что-нибудь здравое не хватает времени (ибо можно заняться и чем-нибудь гораздо более интересным), и отсутствие отклика (даже если к написанию такового активно призывают) не стоит воспринимать как "искали-искали ошибку --- ничего не нашли". (б) Те, кому лженаука интересна, могут писать сколько угодно, но у себя. Люди, которые занимаются лженаукой (про которых мы что-либо слышим) довольно активны. Когда они начинают писать где-либо, то для нормальной научной дискуссии не остаётся места под Солнцем. Можно или удалять, или (как иногда советуют, ибо надо же разобраться) оставлять, но тогда людям, которые занимаются наукой как таковой, в таких условиях работать просто неудобно, они уходят (в другое место). Если позволять лжеучёным писать, где они хотят, то часто им очень хочется написать где-нибудь, где живут не только они, и они создают этим большие неудобства. "Такого не может быть, потому что не может быть никогда." не содержит аргументации. Поэтому в правилах написано "не приветствуются". Не запрещены, но не приветствуются. И если что-то лженаучное удалят, то пусть никто не обижается.

[Модератор (Misha): Настоящая ветка является второй попыткой (первая была в августе 2006, обсуждение было закрыто) обсудить в разделе "Наука" форума Академгородка предположение, что биологическая эволюция происходит в основном из-за изменения фундаментальных констант. Цитата из QUOTE (LIW1949 @ Доклад.Ред3.doc)Л.И.Вулло, Физическая эволюция Мира, как движущая сила биологической эволюции Естественный отбор в состоянии объяснить мелкие усовершенствования видов при их приспособлении к новым условиям, но отнюдь не видообразование. Слишком много времени занимает такой отбор! Для случайного порождения человека таким путём и времени существования Вселенной не хватило бы…Если не будет разумного обоснования процитированного куска, то обсуждение через неделю будет закрыто. При этом дальнейшие попытки обсуждения данного материала будут считаться спамом и жестоко вытираться. Если же автор будет проявлять настойчивость, то ему будет отказано в праве на запись в разделе "Наука". Данное положение дел может поменяться при наличии нового интересного (с точки зрения модераторов раздела "Наука", а не с точки зрения автора ветки) материала по теме ветки.] Update (2007-04-12, 12:49): [Модератор (Misha): QUOTE (Gerasim_2007 @ Apr 12 2007, 11:48)Обойтись в этом топике без ссылки на доклад на международной научной конференции, принятый его титулованным оргкомитетом и ныне опубликованный в сборнике её трудов я не мог. ... Процитированный модератором кусок текста является общеизвестным фрагментом одной из программ Гордона. Напоминаю о том, что Гордон жуликов и неучей в свои программы не приглашал! Какое ещё разумное обоснование этого фрагмента можно требовать? И от кого? От автора топика? От оргкомитета МФКО? От самого Гордона? А может быть просто засчитатать за разумное обоснование трилогию "Невидимые миры вселенной Знания"?Процитированный фрагмент является на мой взгляд единственной мотивацией всей деятельности, которая связана с обсуждаемыми в этой ветке "физическими механизмами биологической эволюции". Утверждения о том, что процитированный фрагмент взят из чего-то авторитетного, что про это много написано где-то там, ..., не рассматриваются как обоснования. Никто здесь ничего ни от кого не требует. Просто если этот кусок не будет как-либо разумно (без флуда и философии, пожалуйста) обоснован (без чего сама обсуждаемая деятельность бессмысленна), то обсуждение будет закрыто 19 апреля.]

QUOTE (Godzilla @ Dec 28 2006, 19:47)надо доказать: (m-1)! <сравнимо> -1(mod m) ,где m- простое!Я считаю, что m > 3. (m - 1)! = -1 (mod m) эквивалентно (m - 2)! = 2 * 3 * ... * (m - 2) = 1 (mod m). Если m --- простое, то для каждого числа x из последнего произведения в этом же произведении присутствует и его обратное x^{-1} (так что x * x^{-1} = 1 (mod m)). P.S. Я бы на Вашем месте написал, какие сложности у Вас возникли с доказательством того, к чему задача свелась.

QUOTE (Halabala @ Dec 20 2006, 20:35)Integral по R Teta(at - |y|) Teta (x - y) dyИнтеграл равен ширине интервала (сумме ширин интервалов), на котором обе \theta-функции не равны нулю, т.е. где аргументы обеих \theta-функций положительны. Аргумент второй \theta-функции положителен, если y < x. Легко видеть, что если at отрицательно, то аргумент первой \theta-функции всегда отрицательный. Если же at положительно, то аргумент первой \theta-функции будет положительным, если |y| < at, т.е. -at < y < at. Таким образом, \int_R \theta(at - |y|) \theta(x - y) dy = \int_{там, где y < x и -at < y < at} \theta(at - |y|) \theta(x - y) dy = \int_{там, где y < x и -at < y < at} dy = {если x > -at} = \int_{-at}^min(x, at) dy = min(x, at) + at (если at > 0 и x > -at) и 0 (если at < 0 или x < -at).

[Модератор (Misha): Исходное название ветки "Задача..." неинформативно. Предупреждение. Похоже, задача нужна для учёбы (ФМШ), если это так, то нарушено правило 2 раздела "Задачник": QUOTE 2. Если задача нужна для учёбы (зачёта, экзамена, ...), то ... Помещение лишь условия задачи, которая нужна для учёбы, (без краткого описания того, до чего удалось дойти самому(ой)) считается грубым нарушением ...] Если такое разбиение есть, то полная сумма 1 + 2 + ... + 21 разбивается на две равные части: сумма всех максимальных чисел в каждой группе и сумма всех остальных по всем группам. Поскольку полная сумма 1 + 2 + ... + 21 = (1 + 21) * 21 / 2 = 11 * 21 = 231 нечётна, то это невозможно.