Задача была помещена в сборник в параграф "арифметические задачи"

со статусом ** (наиболее трудные) ии предлагалась к решению

школьникам 8-11 класса.

 

Задача:

 

Можно ли все десятизначные числа, записываемые при помощи

цифр 1 и 2, разбить на 2 группы так, чтобы сумма 2-х любых чисел

из одной группы содержала в своей десятичной записи не менее

2-х троек?

 

-------------------------------

 

Сам решил ее довольно быстро, но при решении использовал факты,

не известные, как мне кажется, любому школьнику. Вообще-то

решение получилось довольно "лаконичным", и даже работаящим

в более общих случаях (например, когда числа не десятизначные).

А вот арифметики здесь не нашел...

 

Очень хотелось бы послушать, какие подходы предложат остальные,

в том числе и опытные люди (модераторы и др.), задачка действительно интересная!

Решение написано скрытым текстом, прочитать который можно, выделив его мышкой.

 

Ясно, что переносов разряда нигде не происходит. Если в записи числа присутствует чётное число двоек, поместим его в 1-ю группу, а если нечётное --- то во 2-ю.

 

Пусть есть два разных числа с чётным числом двоек. Рассмотрим все позиции, где двойки --- в обоих числах (таких позиций меньше общего числа двоек) и уберём их (они не дают троек в сумме этих двух чисел). Возможны 2 варианта:

1) в каком-нибудь числе не осталось двоек --- сработали все двойки этого числа, значит из другого числа убыло чётное число двоек, а значит чётное (т.е. не меньше 2) осталось;

2) двойки остались в обоих числах --- тогда с хотя бы одной оставшейся двойки от каждого числа мы получим хотя бы 2 тройки.

 

Пусть есть два разных числа с нечётным числом двоек. Рассмотрим все позиции, где двойки --- в обоих числах (таких позиций меньше общего числа двоек) и уберём их (они не дают троек в сумме этих двух чисел). Возможны 2 варианта:

1) в каком-нибудь числе не осталось двоек --- сработали все двойки этого числа, значит из другого числа убыло нечётное число двоек, а значит чётное (т.е. не меньше 2) осталось;

2) см 2) для "чётной" группы.

 

Update:

QUOTE (Yura @ Jan 7 2006, 13:26)

Доказать, что существует только одно такое разбиение (разбиения A+B b B+A считаются одним).

Поместим 1111111111 в 1-ю группу. Легко видеть, что числа с одной двойкой надо поместить не в 1-ю (иначе сумма такого числа и числа 1111111111 даст всего одну тройку), а значит во 2-ю. Далее, числа с двумя двойками приходится поместить не во 2-ю (иначе сумма такого числа и числа с одной двойкой в позиции, где и у "такого" числа двойка, даст всего одну тройку), а значит в 1-ю. Далее, можно сказать, что любое число с тремя двойками нельзя поместить в 1-ю группу (этому премятствует любое число с двумя двойками в позициях, где и у рассматриваемого числа двойки). Таким образом, по индукции лекго показать единственность разбиения.

 

По сути дела, идея доказательства в том, что нельзя нарушать чётность в вариантах 1) из решения выше.

Изменено 7 января, 200620 г. пользователем Гость

Да, спасибо, Misha!

Это определенно другой подход к решению!

Хотя также как и мой годится в немного общем случае!

ЗЫ: решения все еще принимаются!

Еще одно усложнение (придумал уже сам).

 

Доказать, что существует только одно такое разбиение

(разбиения A+B b B+A считаются одним).

 

Между прочим, мой подход легко решает и эту задачу!