Один маленький мальчик загадал два различных натуральных числа. Оба строго больше 1 и строго меньше 100. Одному мегамозгу он сказал сумму этих чисел, другому - их произведение. Прошла неделя, и два мегамозга встретились.

 

Тот, кто знал произведение, говорит:

- Ты знаешь, мне не хватает данных, чтобы определить, что за числа загадал маленький мальчик.

- А я знал что тебе не хватит данных! - ответил тот, кто знал сумму.

- Тогда я понял, что за числа он загадал... - сказал тот, кто знал произведение.

- Тогда и я понял... - сказал тот, кто знал сумму.

 

Что за числа загадал маленький мальчик? Ход решения обосновать.

Тупая задачка, сильно большой перебор https://academ.club/html/emoticons/sad.gif

по-моему что то вроде этого.

 

Пусть загадано 3 и 8. Произведение 24 составляется как 2х12, 3х8 и 4х6.

Второй, знающий сумму (11) имеет 4 варианта

2+9 3+8 и 4+7 и 5+6. 2х9 3х8 4х7 и 5х6 дают числа 18 24 28 и 30, каждой из которых можно разложить разными способами, поэтому тот, кто знает сумму уверен, что первому не хватает информации, о чем и сообщает первому.

 

Первый анализирует варианты. Если числа 2 и 12 (сумма 14) то второй мог бы проанализировать пару 3 и 11, которая дает 33, а такое число составляется только одним способом. Аналогично 4х6 дает сумму 10, что дает пару 3 и 7 - 21 - единственный способ. А вот 3 и 8 дают 4 варианта, в каждом из которых можно сомневатся, следовательно, понимает первый - сумма 11. Отсюда он узнает искомые числа. Аналогично рассуждение второго.

 

Похоже?

QUOTE (sxe @ Nov 9 2007, 18:27)

Тупая задачка, сильно большой перебор https://academ.club/html/emoticons/sad.gif

Это ты пишешь после того как я тебе ответ сказал? Ты попробуй аналитический метод найти. Я же не утверждал, что его не существует. Тем более, мне это не известно.

 

А задачи тупыми не бывают https://academ.club/html/emoticons/smile.gif они безличны )))

QUOTE (Alex_fk @ Nov 9 2007, 18:49)

Похоже?

ответ не верный

 

3+8 = 11 = 2+ 9 = 4 + 7

 

это 3 варианта, при которых человек, знающий произведение мог бы угадать пары чисел https://academ.club/html/emoticons/smile.gif но ведь он угадал однозначно, а тот, кто знал сумму - произведение не знал https://academ.club/html/emoticons/smile.gif попробуйте ещё раз проанализировать рассуждения того, что знает сумму после того как произведенец говорит "я знаю, что это за числа"

 

 

НЕ понял противоречия, поясните. Возможно мой ответ не совпадает с Вашим, однако я не вижу у себя ошибок в рассуждении - укажите.

Изменено 11 ноября, 200718 г. пользователем Гость

Брррр...

По-моему, задача не имеет решения.

 

Надо будет потом на свежую голову обмозговать...

Рассуждения:

Пусть загаданы числа х и у.

Суммарь считает, что могут быть также х1 и у1 (х+у=х1+у1),

при этом х*у=х2*у2 и х1*у1=х3*у3.

Произведенец думал, что могут быть пары (х,у) и (х2,у2).

После фразы суммаря он вторую пару исключает, т.е. х2+у2=х4+у4,

причем х4*у4 определяется однозначно, т.е. х4 и у4 - простые.

Другого разложения в сумму для х2+у2 нет, иначе не стал бы

исключать.

В итоге возможные пары (х4,у4) - (2,5) и (3,5).

Если (2,5), то (х2,у2)=(3,4), далее (х,у)=(2,6). Но 2+6=3+5, а

3*5 определяется однозначно.

Если (3,5), то (х2,у2)=(2,6), далее (х,у)=(3,4). Но 3+4=2+5, а

2*5 определяется однозначно.

Противоречие.

) Думаю,что это числа близки 1, или 100. Близость к пределу может создать

ситуацию,когда один(знающий произведение) предпологает у другого один

из двух вариантов,а другой(знающий сумму) предпологает у первого два

варианта, в одном из которых знающий произведение сам бы определил числа....

Автор в своем решении, предлагает сделать перебор, который не осмелится сделать не один человек, решающий эту задачу с точки зрения математики. Если рассматривать эту задачу с точки зрения информатики, то этот перебор вполне естественный подсчет на компьютере ( собственно как и сделал автор ).

______________________________

Дак вот вопрос: Есть ли решение у этой задачи строго математическим методом, без большого перебора ( не больше пяти чисел проверять ).

Попробую. Вот ход. Я попробовал найти минимальные числа.

 

QUOTE

Тот, кто знал произведение, говорит: - Ты знаешь, мне не хватает данных, чтобы определить, что за числа загадал маленький мальчик.

Отсюда можно сделать вывод, что произведение не есть произведение двух простых чисел.

QUOTE

- А я знал что тебе не хватит данных! - ответил тот, кто знал сумму.

А отсюда - что сумма никаким образом не раскладывается в сумму двух простых чисел, иначе второй мегамозг не знал бы наверняка, что первому точно не хватит данных. Из этого понятно, что сумма нечетна, иначе она всегда могла быть разложена в сумму простых чисел. Четное число, по крайней мере до 200 (дальше не знаю), можно разложить в сумму двух простых слагаемых, больших 1. Если сумма нечетна, то произведение четно, кстати. По крайней мере одна двойка в разложении есть.

QUOTE

- Тогда я понял, что за числа он загадал... - сказал тот, кто знал произведение.

Первому хватило инфы. Значит у него был выбор или сумма имеет один вид, или другой. Только в одном виде сумма была нечетной, в других - четной.

 

 

 

дальше чушь идет. сам удаляю.

Изменено 21 ноября, 200718 г. пользователем Гость

QUOTE (Alex_fk @ Nov 9 2007, 18:49)

по-моему что то вроде этого. Пусть загадано 3 и 8 Похоже?

Вроде подходит, только откуда взялись сразу числа? https://academ.club/html/emoticons/wink.gif

 

Хотелось бы получить сначала ход рассуждений, а из него уже числа.

Обнаружил ошибку в своих рассуждениях от 12 ноября. https://academ.club/html/emoticons/sad.gif

Буду исправляться...

 

 

У ману ошибка, видимо, здесь:

QUOTE

Значит у него был выбор или сумма имеет один вид, или другой. Только в одном виде сумма была нечетной, в других - четной.

Дальше разбираться не стал https://academ.club/html/emoticons/wink.gif .

 

Насчет 4 и 7. Это не ответ!!! https://academ.club/html/emoticons/ayayay.gif

 

Попробую обосновать попроще.

 

Действительно, зная сумму 11 суммарь может предполагать пары

(2,9), (3,8), (4,7) и (5,6). В каждом случае имеется составное число,

стало быть однозначного разбиения на множители нет.

Пусть заданы числа 4 и 7. Тогда произведенец имеет число 28 и

варианты (4,7) и (2,14). После слов суммаря он вторую пару исключает,

т.к. 2+14=3+13, а числа 3 и 13 - простые, стало быть у суммаря не число 16.

Итак, произведенец угадает числа 4 и 7.

Вроде все хорошо.

 

НО!!!

Как потом суммарь догадается о 4 и 7?

Ведь те же самые рассуждения верны и для пары (2,9). Копируем...

Пусть заданы числа 2 и 9. Тогда произведенец имеет число 18 и

варианты (2,9) и (3,6). После слов суммаря он вторую пару исключает,

т.к. 3+6=2+7, а числа 2 и 7 - простые, стало быть у суммаря не число 9.

Итак, произведенец угадает числа 2 и 9.

 

То же самое и для пары (3,8). (Кстати, пару (5,6) суммарь может отбросить).

Следовательно, суммарь не сможет выбрать между парами (2,9), (3,8) и (4,7).

 

Как и указывал автор алексу.

Изменено 21 ноября, 200718 г. пользователем Гость

Что-то нашел!

 

Давненько на этот сайт не заходил, возможно что-то забыл, попробую восстановить.

 

Пусть заданы числа х и у. (х+у=s)

Покажем, что s<101. Действительно, если иначе, то суммарь имеет варианты пар х и у:

(s-99,99), (s-98,98), (s-97,97) и т.д.

Число 97 - простое, следовательно, произведение (s-97)*97 разлагается на множители от 2 до 99 однозначно и суммарь не был бы уверен в том, что произведенец не знает ответа. Отсюда получаем, что у суммаря варианта (s-97,97) нет (значит, нет и "т.д."). Итого у него в зависимости от s м.б. пары (98,99); (97,99); (96,99) и (97,98); (95,99) и (96,98). Все они разлагаются на множители от 2 до 99 однозначно. Противоречие.

 

Итак, s<101. Любое четное от 8 до 100 м.б. представлено в виде суммы двух различных простых чисел, меньших 100. (Спасибо Ману за напоминание, но у него для четных чисел до 200, но тогда и простые числа м.б. больше 100).

Следовательно, s - нечетное.

 

Т.к. s<100, то суммарь имеет варианты:

(2,s-2), (3,s-3), (4,s-4) и т.д.

Отметим, что s-2 - не простое, иначе 2*(s-2) было бы однозначным.

Рассмотрим пары (4,s-4), (6,s-6), (8,s-8) и т.д.

Если существует такое k, что s-2k=53 (а 53 - простое!), то произведение 2k*(s-2k)=2k*53 однозначно. Отсюда следует, что таких k нет.

Отсюда s-4<53, т.е. s<57.

 

Итак, s<57, s - нечетное и s-2 - не простое. Возможные варианты для s:

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53.

 

Рассмотрим числа s(k)=s-2^k, где k>1 (^ - "в степени").

Если при некотором k число s(k) - простое, то произведенец, имея вариант (2^k)*(s-2^k) все другие разложения на множители отбросит, т.к. там сумма множителей будет четной и ...(см. выше).

Т.о., пара (2^k)*(s-2^k) - возможный вариант ответа.

Если при разных k могут получиться простые s(k), то тогда такое число s надо отбросить, т.к. суммарь не сможет выбрать между ними. (Так, отбросим 11: 11-4=7 и 11-8=3; отбросим 23: 23-4=19 и 23-16=7).

 

Останутся возможные варианты для s: 17, 29, 41, 53

и возможные пары х и у: (4,13), (13,16), (4,37), (16,37).

 

Искомая пара х и у обладает свойством: из равенства х*у=х2*у2 следует, что х2+у2 м.б. разложено в сумму простых чисел. Будем искать для каждого s другие варианты х1 и у1 (s=х1+у1), обладающие этим свойством. Если таких х1 и у1 нет, то х и у - ответ.

(* Заметим, что если у1=2k, где k>1 и нечетное, то х1*у1=х1*(2k)=(x1*k)*2, а (x1*k)+2 не м.б. разложено в сумму простых чисел, т.е. такие х1 и у1 можно не смотреть *)

 

Для s=17 имеем возможный ответ (4,13) и другие пары (2,15), (5,12), (8,9).

Пары (3,14), (6,11), (7,10) отбросили (см. замечание).

 

2*15=5*6, 5*12=20*3, 8*9=3*24.

11, 23, 27 не м.б. разложены в сумму простых чисел.

 

Отсюда, пара (4,13) - ОТВЕТ!!!

 

Для s=29. Рассмотрим пару (2,27).

2*27=3*18=6*9.

21=2+19, 15=2+13.

Суммарь не сможет выбрать между (13,16) и (2,27), т.е. s=29 не подходит.

 

Для s=41 и s=53 смотреть неохота. https://academ.club/html/emoticons/smile.gif

 

ИТОГО:

(4,13) - ОТВЕТ, (4,37) и (16,37) - возможные варианты. Других нет.

 

Автору темы (kka): хорошая задача! Не такая простая, как на первый взгляд,

но и не такая сложная, как на второй (ИМХО).

 

Ману зря удалил свои рассуждения, очень помогли.

QUOTE (Max&m @ Nov 27 2007, 21:22)

Любое четное от 8 до 100 м.б. представлено в виде суммы двух различных простых чисел, меньших 100.

Это откуда? Перебором проверяли?

Гипотеза Гольдбаха: любое четное число м.б. представлено в

виде суммы двух простых. Для относительно небольших чисел проверено

давно до нас, в том числе и компьютерами. Я лишь подставил порог: у нас ведь числа до 100.

 

В принципе, если ВЫ сомневаетесь, можете и проверить. Перебором.

Это не так уж и трудно. Можно легко продолжить и свыше 100:

97+3,5,7 = 100,102,104

89+17,19=106,108

97+13=110

и т.д.

Для чисел до 100 еще проще.

 

ЗЫ. Я не случайно продолжил немного за 100. https://academ.club/html/emoticons/wink.gif